使用 Python 計算平方根的方法｜徹底解析 math.sqrt、numpy、cmath

By 佐川 直弘 | Naohiro Sagawa (運営者)

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1. 前言

使用 Python 計算平方根是解決數學問題、資料分析以及機器學習中非常重要的技能。Python 提供多種用來計算平方根的函式與函式庫，各自具有不同的特性。平方根在許多情境中都非常實用，例如使用二次方程式解的公式或是計算資料分析中的標準差等情況。本文將以簡單易懂的方式，介紹 Python 中各種計算平方根的方法，並依照用途推薦最合適的方式。

2. 如何使用 Python 計算平方根

在計算平方根時，常用的方法包括標準函式庫中的 math.sqrt() 函式、指數運算子、以及 numpy 函式庫等。以下將搭配範例，說明各方法的特性與使用方式。

2.1 math.sqrt() 函式

Python 中的 math.sqrt() 是計算實數平方根最基本的方式。它屬於標準函式庫的一部分，只能用於實數，若傳入負數作為參數會產生錯誤，因此使用時需特別注意。

import math

# 正數的平方根
val = math.sqrt(16)
print(val)  # 輸出: 4.0

使用注意事項

• math.sqrt() 無法處理負數與複數。若需處理複數，請使用下文所介紹的 cmath 模組。
• 其計算精度為標準等級，適用於大多數情境，但在需要高精度的情況下可能不夠理想。

2.2 指數運算子（**）

也可以使用指數運算子 **0.5 來計算平方根。這種寫法簡單直觀，但在精度與用途方面需注意其限制。

# 使用指數運算子計算平方根
val = 16 ** 0.5
print(val)  # 輸出: 4.0

特性與注意事項

• **0.5 作為運算子使用非常方便，但在執行效率與精度上可能略遜於 math.sqrt()。
• 適合在小規模且需快速運算的情況下使用，但對精確性要求較高時，建議使用其他方法。

2.3 numpy.sqrt() 函式

numpy 函式庫常用於資料分析與機器學習，其中的 numpy.sqrt() 函式可一次計算陣列或矩陣中每個元素的平方根。它也能處理負數與複數，因此在需同時計算多個數值時特別有效率。

import numpy as np

# 計算陣列的平方根
arr = np.array([1, 4, 9, 16])
sqrt_arr = np.sqrt(arr)
print(sqrt_arr)  # 輸出: [1. 2. 3. 4.]

優點與適用情境

• numpy.sqrt() 適用於處理大量資料，例如資料分析或機器學習中的運算。
• 可支援多種資料型別，且在處理大型陣列時具備高速運算的優勢。

3. 進階應用方法

3.1 處理複數與高精度計算

在 Python 中，當需要處理複數或進行高精度計算時，可以使用 cmath 模組與 decimal 模組。

使用 cmath.sqrt() 計算複數的平方根

cmath 模組支援複數的平方根計算，甚至可以處理負數的平方根。

import cmath

# 複數的平方根
val = cmath.sqrt(-4)
print(val)  # 輸出: 2j

使用 decimal 模組進行高精度平方根計算

透過 decimal 模組可以自訂計算的精度，特別適合用於金融等需要高精度的計算情境。

from decimal import Decimal, getcontext

getcontext().prec = 50  # 設定高精度
val = Decimal(2).sqrt()
print(val)  # 高精度平方根的輸出範例

3.2 計算速度比較

不同的平方根計算方式在速度上會有所差異，應根據實際用途選擇適合的函式。以下範例將比較 math.sqrt()、numpy.sqrt()、decimal.sqrt() 以及 cmath.sqrt() 的執行速度。

import time

def compare_sqrt_speed(x):
    start_time = time.time()
    math.sqrt(x)
    print(f"math.sqrt: {time.time() - start_time:.10f}秒")
    # 其他函式亦可用相同方式測量

4. 實際應用範例

接下來我們將介紹幾個使用 Python 計算平方根的實際範例。平方根運算可廣泛應用於數學問題求解與資料分析。本節將具體說明如何應用於「二次方程式解的公式」與「標準差的計算」。

4.1 二次方程式解公式中的平方根應用

在解二次方程式（( ax^2 + bx + c = 0 )）時，會使用到判別式（( b^2 – 4ac )）的平方根。使用 Python 中的 math.sqrt() 就可以計算出解。

程式範例：計算二次方程式的解

以下是使用 Python 計算二次方程式解的程式範例：

import math

# 二次方程式的係數
a = 1
b = -5
c = 6

# 判別式
discriminant = b**2 - 4 * a * c

if discriminant >= 0:
    # 實數解
    root1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
    root2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
    print(f"解為 {root1} 和 {root2}。")
else:
    # 複數解
    root1 = complex(-b, math.sqrt(-discriminant)) / (2 * a)
    root2 = complex(-b, -math.sqrt(-discriminant)) / (2 * a)
    print(f"解為 {root1} 和 {root2}。")

上述程式透過判別式的平方根來求解二次方程式。若判別式為正，則為實數解；若為負，則回傳複數解，可應用於各種數學問題中。

4.2 資料分析中標準差的計算

標準差是用來表示資料分散程度的統計指標，可透過計算平方根取得。Python 中可使用 numpy 函式庫簡單地計算資料集的標準差。以下為範例：

程式範例：計算標準差

import numpy as np

# 資料集
data = [10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16]

# 計算標準差
std_dev = np.std(data)
print(f"資料集的標準差為 {std_dev}")

上述程式使用 np.std() 函式計算資料的標準差。透過標準差可以定量評估資料與平均值的差距，這在統計分析與資料可靠性評估上具有實用價值。

5. 總結

本文介紹了如何使用 Python 計算平方根的方法。以下簡要整理各種方法及其特點：

各種平方根計算方式在精度與速度上有所不同。請根據實際需求與應用情境選擇最合適的方法。掌握 Python 的平方根計算技巧，將能讓你更靈活地應對各種數值處理與資料分析任務。